O Teorema de Tales é um dos conceitos fundamentais da geometria, sendo amplamente aplicado na semelhança de triângulos e no estudo de proporções. Seu uso facilita a resolução de problemas envolvendo retas paralelas cortadas por transversais e está presente em diversas situações do cotidiano e da engenharia. A seguir, apresentamos 12 exercícios para ajudar os alunos do 9º ano a compreenderem e aplicarem esse teorema. Estes exercícios podem ser utilizados diretamente em sala de aula ou adaptados conforme necessário.
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Exercícios sobre o Teorema de Tales
1. Exercício de Aplicação Direta
Em um feixe de retas paralelas cortado por duas transversais, os segmentos formados na primeira transversal medem 6 cm e 9 cm. Na segunda transversal, o segmento correspondente ao menor mede 4 cm. Qual é o valor do segmento correspondente ao maior?
2. Problema com Triângulos Semelhantes
No triângulo ABC, a reta DE é paralela à base BC. Se AD = 5 cm, DB = 10 cm e DE = 6 cm, qual é o valor de BC?
3. Exercício de Escala
Uma sombra de 3 metros de um poste projeta um comprimento de 2 metros no solo. Um homem de 1,8 metros de altura está ao lado do poste. Qual é o comprimento da sombra projetada pelo homem?
4. Exercício com Construção Geométrica
Desenhe um triângulo ABC e uma reta paralela à base BC cortando os lados AB e AC nos pontos D e E, respectivamente. Se AB = 10 cm, AD = 4 cm e DE = 5 cm, qual é o comprimento de BC?
5. Proporção entre Segmentos
Duas retas paralelas cortam uma transversal em quatro pontos distintos. Se os três primeiros segmentos medem 3 cm, 4 cm e 5 cm, qual deve ser o comprimento do quarto segmento para manter a proporcionalidade?
6. Exercício sobre Projeções
Uma torre projeta uma sombra de 12 metros. Um poste de 3 metros de altura projeta uma sombra de 4 metros no mesmo horário. Qual é a altura da torre?
7. Exercício de Comparação de Triângulos
Dois triângulos semelhantes possuem lados proporcionais. Se um triângulo tem lados de 6 cm, 8 cm e 10 cm, e o segundo tem um dos lados correspondentes medindo 9 cm, qual é o comprimento dos outros dois lados do segundo triângulo?
8. Exercício de Construção de Proporção
Uma escada encostada em uma parede forma um triângulo com o solo. Se a base mede 4 metros e a altura até o topo da escada é de 6 metros, qual será a altura se aumentarmos a base para 6 metros mantendo o mesmo ângulo?
9. Exercício de Aplicação no Dia a Dia
Uma fotografia de uma pessoa de 1,80 m de altura foi ampliada mantendo as proporções. Se a altura da pessoa na foto original era de 12 cm e na ampliação passou para 18 cm, qual era a largura original da foto, considerando que a nova largura é de 24 cm?
10. Problema de Engenharia
Uma ponte está projetada para ser construída com um vão de 80 metros, e os cálculos de engenharia utilizam um modelo reduzido de 2 metros de vão. Se a carga suportada pelo modelo for de 500 kg, qual será a carga suportada pela ponte real, mantendo as proporções?
11. Exercício de Interpretação de Gráficos
Um gráfico representa o crescimento de uma árvore ao longo dos anos e segue um modelo proporcional. Se em 3 anos a árvore cresceu 90 cm, qual será a altura da árvore após 7 anos, mantendo a mesma taxa de crescimento?
12. Exercício de Cálculo Indireto
Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 5 cm. Sabendo que a escala do mapa é de 1:200.000, qual é a distância real entre as cidades?
Gabarito
- Feixe de paralelas – proporção direta
6/9 = 4/x → 6x = 36 → x = 6 cm. - Triângulos semelhantes (DE ∥ BC)
AD/AB = DE/BC.
AB = AD + DB = 5 + 10 = 15.
5/15 = 6/BC → 1/3 = 6/BC → BC = 18 cm. - Sombra do homem (assumindo: poste 3 m faz sombra de 2 m)
Altura/Sombra = 3/2.
1,8/x = 3/2 → 3x = 3,6 → x = 1,2 m. - Paralela a BC cortando AB e AC
AD/AB = DE/BC.
AD/AB = 4/10 = 2/5.
2/5 = 5/BC → BC = 12,5 cm. - Proporção entre segmentos consecutivos
Para manter 1º/2º = 3º/4º: 3/4 = 5/x → 3x = 20 → x = 20/3 ≈ 6,67 cm. - Altura da torre (mesmo horário)
Altura/Sombra é constante.
H/12 = 3/4 → H = 12 × 3/4 = 9 m. - Triângulos semelhantes (lados 6, 8, 10 → lado correspondente 9)
Fator de escala = 9/6 = 1,5.
Outros lados: 8 × 1,5 = 12 cm e 10 × 1,5 = 15 cm. - Escada com mesmo ângulo (mesma razão base/altura)
4/6 = 6/h → 4h = 36 → h = 9 m. - Ampliação de foto (mesma proporção)
Fator de altura: 18/12 = 1,5.
Largura original = 24 / 1,5 = 16 cm. - Modelo de ponte (simplificação proporcional)
Escala de comprimento: 80/2 = 40.
Carga real ≈ 500 × 40 = 20.000 kg. - Crescimento proporcional
3 anos → 90 cm ⇒ 30 cm/ano.
7 anos → 7 × 30 = 210 cm. - Escala do mapa 1:200.000
Distância real = 5 cm × 200.000 = 1.000.000 cm = 10.000 m = 10 km.
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Conclusão
O Teorema de Tales é uma ferramenta poderosa para resolver problemas envolvendo proporcionalidade e semelhança de triângulos. Com esses exercícios, os alunos do 9º ano terão a oportunidade de consolidar esse conhecimento de maneira prática e aplicada. Professores podem adaptar as questões de acordo com as necessidades da turma, tornando o aprendizado mais dinâmico e acessível.
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