A fatoração é uma das partes mais importantes da álgebra, pois permite simplificar expressões e resolver equações com mais facilidade. Os casos notáveis da fatoração são padrões prontos que ajudam o aluno a reconhecer e decompor expressões rapidamente.
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Nesta atividade, vamos praticar os principais casos: diferença de quadrados, trinômio quadrado perfeito, soma e diferença de cubos, fator comum e agrupamento.
Exercícios sobre Fatoração e Casos Notáveis
1. Fatore as expressões abaixo (diferença de dois quadrados):
a) x² – 25
b) a² – 49b²
c) 9m² – 16n²
2. Fatore os trinômios quadrados perfeitos:
a) x² + 6x + 9
b) a² – 10a + 25
c) 4b² + 12b + 9
3. Coloque o fator comum em evidência:
a) 6x² + 12x
b) 9a³b + 3a²b²
c) 15x³ – 10x²
4. Faça a fatoração por agrupamento:
a) xy + 2x + 3y + 6
b) ab – 5a + 2b – 10
c) x² + 2x + xy + 2y
5. Fatore as expressões de soma e diferença de cubos:
a) x³ – 8
b) a³ + 27
c) 8m³ – n³
6. A área de um quadrado é igual a x² – 9. Determine as medidas possíveis do lado desse quadrado utilizando fatoração.
7. Observe a expressão 4x² – 12x + 9.
a) Esse polinômio é um quadrado perfeito?
b) Qual sua forma fatorada?
8. Simplifique a fração algébrica aplicando a fatoração e indique as restrições de existência:
(x² – 9)/(x² + 6x + 9)
Gabarito
1.
a) (x – 5)(x + 5)
b) (a – 7b)(a + 7b)
c) (3m – 4n)(3m + 4n)
2.
a) (x + 3)²
b) (a – 5)²
c) (2b + 3)²
3.
a) 6x(x + 2)
b) 3a²b(3a + b)
c) 5x²(3x – 2)
4.
a) (x + 3)(y + 2)
b) (a + 2)(b – 5)
c) (x + 2)(x + y)
5.
a) (x – 2)(x² + 2x + 4)
b) (a + 3)(a² – 3a + 9)
c) (2m – n)(4m² + 2mn + n²)
6.
x² – 9 = (x – 3)(x + 3).
As medidas possíveis do lado do quadrado são x – 3 e x + 3 (considerando apenas valores positivos de x > 3).
7.
a) Sim, é um trinômio quadrado perfeito.
b) Forma fatorada: (2x – 3)².
8.
x² – 9 = (x – 3)(x + 3)
x² + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3)
Simplificando:
(x – 3)(x + 3) / (x + 3)(x + 3) = (x – 3) / (x + 3)
Restrição: x ≠ -3
Conclusão
Dominar a fatoração e seus casos notáveis é fundamental para o aprendizado da álgebra. Reconhecer padrões e aplicar corretamente as fórmulas ajuda o aluno a resolver expressões complexas com mais rapidez e segurança. Essa prática é indispensável para conteúdos futuros como equações, funções e simplificações algébricas.
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