A fatoração é um dos temas mais importantes da álgebra. Professores trabalham o assunto do 7º ao 9º ano, e ele retorna no Ensino Médio, em funções, polígonos notáveis, equações e até na Física. Fatorar significa transformar uma expressão em um produto de fatores mais simples, deixando a expressão organizada, reduzida e fácil de manipular.
Este conteúdo foi criado para professores que precisam de uma explicação completa, com exemplos claros e didáticos, e também para estudantes que desejam compreender a lógica da fatoração, incluindo fatoração com raízes. Entre as técnicas de fatoração, veremos desde o básico, como fator comum, até as mais avançadas, como trinômio quadrado perfeito e a técnica usando as raízes da equação associada.
O que significa fatorar?
Fatorar é transformar uma expressão algébrica em um produto. Se você transformar algo que estava em forma de soma ou subtração em multiplicação, então você fatorou.
Exemplos simples:
8 + 12 = 4(2 + 3)
x² + 3x = x(x + 3)
Por que isso é útil?
Porque multiplicações são muito mais fáceis de simplificar, resolver ou manipular do que somas.
A fatoração permite:
- resolver equações de maneira mais rápida;
- simplificar expressões complexas;
- descobrir raízes de polinômios;
- entender propriedades das funções.
Veja também: Exercícios de Fatoração com Gabarito
Como fatorar: principais técnicas
Aqui apresento todas as técnicas que um professor precisa trabalhar no ensino fundamental e médio.
Fator comum em evidência
A fatoração mais simples e mais usada. Quando todos os termos têm algo em comum, retiramos esse algo para fora dos parênteses.
Exemplo 1
6x + 12
O fator comum é 6.
Resultado:
6(x + 2)
Exemplo 2
15a²b + 10ab²
Fator comum: 5ab
Resultado:
5ab(3a + 2b)
Erros comuns dos alunos
- Não observar o maior fator possível.
- Esquecer que letras também são fatores.
Agrupamento
Quando não há fator comum para todos os termos, mas existe entre pares, fazemos grupos.
Exemplo
x² + 3x + 2x + 6
Agrupamos:
(x² + 3x) + (2x + 6)
Agora retiramos o fator comum de cada grupo:
x(x + 3) + 2(x + 3)
Observe que o fator comum agora é (x + 3):
Resultado final:
(x + 3)(x + 2)
Produtos notáveis na fatoração
Os produtos notáveis são padrões conhecidos. Quando identificamos esses padrões, a fatoração fica muito mais rápida.
a) Diferença de quadrados
Quando temos a forma:
A² – B²
O resultado é:
(A + B)(A – B)
Exemplos
- x² – 25
Resultado: (x + 5)(x – 5) - 9y² – 16
Resultado: (3y + 4)(3y – 4)
b) Trinômio quadrado perfeito
Forma:
A² + 2AB + B² = (A + B)²
ou
A² – 2AB – B² = (A – B)²
Exemplo
x² + 6x + 9
Como 9 é 3² e o termo do meio é 6x, temos um quadrado perfeito.
Resultado: (x + 3)²
Veja também: Atividade de Fatoração com Casos Notáveis
Trinômio do segundo grau (ax² + bx + c)
É o mais famoso da fatoração. Aquele que aparece em todos os livros e provas.
Método 1: Soma e produto (mais usado no Fundamental)
Procuramos dois números que:
- somados dão b
- multiplicados dão c
Exemplo
x² + 7x + 10
Dois números que somam 7 e multiplicam 10: 5 e 2
Resultado:
(x + 5)(x + 2)
Quando não funciona?
Quando os números da soma e do produto não são inteiros.
Nesse caso, usamos fatoração com raízes (ver seção 3).
Outro exemplo
x² – 11x + 24
Números: 3 e 8
Resultado:
(x – 3)(x – 8)
Fatoração de polinômios maiores
Polinômios de 3º ou 4º grau podem ser fatorados usando:
- agrupamento;
- identificação de fator comum;
- técnica baseada nas raízes (explicada adiante);
- teorema do resto para encontrar divisores.
Exemplo
x³ – 4x² – x + 4
Agrupando:
(x³ – 4x²) + (-x + 4)
Fatorando cada grupo:
x²(x – 4) – 1(x – 4)
Agora retiramos o fator comum (x – 4):
(x – 4)(x² – 1)
E ainda podemos fatorar x² – 1:
(x – 4)(x + 1)(x – 1)
Fatoração usando raízes
Agora entramos no ponto mais importante para muitos professores: como fatorar quando aparecem raízes, ou quando o trinômio não pode ser resolvido com soma e produto.
A ideia é simples:
Se conhecemos as raízes de um polinômio, podemos usar essas raízes para fatorar a expressão.
Regra geral
Se r é raiz de um polinômio P(x), então P(x) pode ser escrito como
(x – r) multiplicado por outro fator.
Se houver duas raízes, r1 e r2, então a fatoração será:
(x – r1)(x – r2)
multiplicado pelo coeficiente principal.
Veja também: Exercícios de Fatoração com Raízes
Fatoração de polinômios do 2º grau com raízes reais
Vamos supor que você calculou as raízes pela fórmula de Bhaskara.
Exemplo 1
Fatore: x² – 3x – 10
Primeiro, calculamos as raízes:
Elas são 5 e -2.
Então a fatoração é:
(x – 5)(x + 2)
Observe que é exatamente o que encontraríamos fazendo soma e produto.
Fatoração quando as raízes são decimais
Nem sempre as raízes são números bonitos.
Nesses casos, é possível fatorar, mas a fatoração terá números quebrados.
Exemplo
x² – 5x + 3
Usando fórmula, obtemos:
r1 = (5 + raiz de 13) dividido por 2
r2 = (5 – raiz de 13) dividido por 2
A fatoração será:
x menos r1
vezes
x menos r2
Resultado:
[x – (5 + raiz de 13) dividido por 2] [x – (5 – raiz de 13) dividido por 2]
Essa forma aparece no Ensino Médio, especialmente em pré vestibular.
Fatoração de polinômios do 3º grau usando raiz encontrada
Se descobrimos uma raiz real r, então podemos dividir o polinômio por (x – r) e continuar fatorando.
Exemplo
Fatore: x³ – 6x² + 11x – 6
Testando raízes pequenas, descobrimos que 1 é raiz.
Então dividimos o polinômio por (x – 1).
O resultado é (x – 1)(x² – 5x + 6)
Agora basta fatorar o trinômio:
(x – 1)(x – 2)(x – 3)
Fatoração com raízes dentro da expressão
Agora chegamos no conteúdo específico que você pediu: fatoração de expressões que já contêm raízes nos termos.
Esse tipo de fatoração aparece muito no final do fundamental ou início do médio.
Expressões com raiz comum
Exemplo
Fatore:
6 raiz de 2 + 3 raiz de 2 x
Há um fator comum: raiz de 2
Resultado:
raiz de 2 (6 + 3x)
Diferença de quadrados com raízes
Exemplo
Fatore:
8 – 2 raiz de 15
Primeiro, tente enxergar cada termo como um quadrado.
Observe:
8 = 4 raiz de 2 ao quadrado?
Não.
Mas podemos escrever 8 como 4 vezes 2.
Outra abordagem: tente escrever a expressão como A² – B².
Veja:
(raiz de 20)² = 20
(raiz de 12)² = 12
E 20 – 12 = 8
Além disso:
2 raiz de 15 = 2 vezes raiz de 15 = raiz de 60
Podemos tentar outras combinações, mas aqui a fatoração mais simples é:
8 – 2 raiz de 15
igual a
(raiz de 5 menos raiz de 3)²
Verifique:
(raiz de 5 menos raiz de 3)²
= 5 – 2 raiz de 15 + 3
= 8 – 2 raiz de 15
Logo, a fatoração é:
(raiz de 5 menos raiz de 3)²
Fatoração de expressões com raiz no termo do meio
Exemplo
x² + 2 raiz de 3 x + 3
Lembre da forma do quadrado perfeito:
A² + 2AB + B² = (A + B)²
Compare:
A² é x²
Logo, A = x
B² é 3
Logo, B = raiz de 3
Verifique o termo do meio:
2AB = 2 x raiz de 3
Correto.
Resultado:
(x + raiz de 3)²
Diferença entre quadrados com raízes mais simples
Exemplo
Fatore:
25 – 4 raiz de 6
Observe:
25 é 5²
4 raiz de 6 não é quadrado perfeito
Mas podemos testar se a expressão é igual a (a – b)².
Tentamos:
(5 – raiz de 6)²
Expanda mentalmente:
= 25 – 10 raiz de 6 + 6
= 31 – 10 raiz de 6 (não serve)
Agora tente:
(5 – 2 raiz de 6)²
Expanda:
= 25 – 20 raiz de 6 + 24
= 49 – 20 raiz de 6 (não serve)
Portanto, este caso não é quadrado perfeito.
Então fatoramos usando raiz:
25 – 4 raiz de 6
igual a
(5 + 2 raiz de 6)(5 – 2 raiz de 6)
Verificação:
Produto das diferenças:
5 vezes 5 = 25
menos
(2 raiz de 6) vezes (2 raiz de 6) = 4 vezes 6 = 24
Mas isso daria 25 – 24 = 1, não serve.
Logo, a expressão não tem fatoração clássica simples.
Isso é importante de ensinar: nem toda expressão com raízes é fatorável em forma simples.
Como ensinar fatoração com eficiência
Aqui algumas estratégias práticas:
- Trabalhe primeiro reconhecimento de padrões.
- Use muito a relação entre soma e produto.
- Relembre o quadrado perfeito constantemente.
- Ensine o aluno a testar raízes simples.
- Sempre faça verificações expandindo a expressão fatorada.
- Evite decorar fórmulas sem entender a estrutura.
Conclusão
A fatoração é uma das ferramentas mais poderosas da matemática escolar. Quando o aluno entende que fatorar nada mais é do que transformar somas em multiplicações e reconhecer padrões, tudo fica mais acessível.
Neste guia vimos as principais técnicas de fatoração, desde o básico até casos mais avançados, como a fatoração usando raízes e expressões contendo radicais. Com prática e boa didática, o aluno consegue dominar o tema e aplicar em equações, funções, simplificações e muito mais.
