Exercícios de Fatoração com Raízes com Gabarito

A fatoração é uma habilidade essencial no estudo da álgebra, pois permite reorganizar expressões, resolver equações e compreender estruturas importantes das funções polinomiais. Quando associada às raízes, ela se torna ainda mais rica, já que o aluno passa a relacionar discriminante, zeros da função e decomposição em fatores.

Esta atividade foi elaborada especialmente para professores que desejam propor desafios variados, indo além da simples troca de números. Aqui, o estudante precisará interpretar situações, analisar estrutura polinomial e aplicar diferentes técnicas de fatoração.

Veja também: Entenda como Fatorar

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Atividade: Fatoração com raízes

1. Identificação estrutural
   Explique por que a expressão x² – 9 pode ser fatorada sem calcular raízes e escreva sua fatoração.
2. Raízes antes da fatoração
   A expressão x² – 11x + 30 possui duas raízes inteiras. Encontre essas raízes e, em seguida, escreva a fatoração da expressão.
3. Problema contextualizado
   Um campo retangular tem área representada por A(x) = x² – 7x.
   a) Fatore a expressão.
   b) Considerando o resultado, interprete o que representam os fatores na dimensão do terreno.
4. Análise do discriminante
   Analise a expressão 2x² – 3x – 20.
   a) Calcule o valor do discriminante.
   b) Use as raízes para escrever a fatoração.
5. Fator comum e raiz nula
   A expressão P(x) = x(x – 12) já está parcialmente fatorada.
   a) Quais são as raízes de P(x)?
   b) Transforme a expressão em forma expandida e depois escreva novamente a fatoração.
6. Reconhecimento de quadrado perfeito
   Verifique se a expressão x² – 10x + 25 é um trinômio quadrado perfeito, demonstrando o motivo, e escreva sua fatoração.
7. Equação para descobrir fatores
   Uma expressão quadrática possui raízes 8 e -2.
   a) Monte a expressão polinomial correspondente.
   b) Escreva a forma fatorada dessa expressão.
8. Fatoração com número racional
   Fatore a expressão 3x² – x – 2, obtendo as raízes, mesmo que não sejam inteiras, e escreva a fatoração completa.
9. Expressão maior e interpretação
   Considere a expressão E(x) = x³ – 5x² – 14x.
   a) Realize a fatoração por partes, extraindo o fator comum.
   b) Escreva a forma completamente fatorada.
   c) Identifique todas as raízes de E(x).
10. Desafio final
    A expressão x² + 4x – 77 representa a relação entre dois lados de um grande painel metálico.
    a) Encontre as raízes.
    b) Faça a fatoração.
    c) Explique por que uma das raízes não faz sentido como medida física.

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Gabarito

1. Identificação estrutural
   x² – 9
   • Justificativa: é diferença de quadrados, pois 9 = 3².
   • Fatoração: (x – 3)(x + 3)
2. Raízes antes da fatoração
   x² – 11x + 30
   • Raízes: 5 e 6
   • Fatoração: (x – 5)(x – 6)
3. Problema contextualizado
   A(x) = x² – 7x
   a) Fatoração: x(x – 7)
   b) Interpretação:
   • x representa uma dimensão do terreno.
   • x – 7 representa a outra dimensão.
4. Análise do discriminante
   2x² – 3x – 20
   a) Discriminante: Δ = 169
   b) Raízes: 4 e -5/2
   Fatoração: (2x + 5)(x – 4)
5. Fator comum e raiz nula
   P(x) = x(x – 12)
   a) Raízes: 0 e 12
   b) Forma expandida: x² – 12x
   Fatoração: x(x – 12)
6. Reconhecimento de quadrado perfeito
   x² – 10x + 25
   • É quadrado perfeito, pois 25 = 5² e -10x é o dobro de -5x.
   • Fatoração: (x – 5)(x – 5)
7. Equação para descobrir fatores
   Raízes: 8 e -2
   a) Polinômio: x² – 6x – 16
   b) Fatoração: (x – 8)(x + 2)
8. Fatoração com número racional
   3x² – x – 2
   • Discriminante: 25
   • Raízes: 1 e -2/3
   • Fatoração: 3(x – 1)(x + 2/3)
   (Equivalente a (3x + 2)(x – 1))
9. Expressão maior e interpretação
   E(x) = x³ – 5x² – 14x
   a) Fator comum: x
   E(x) = x(x² – 5x – 14)
   b) Fatoração completa: x(x – 7)(x + 2)
   c) Raízes: 0, 7 e -2
10. Desafio final
    x² + 4x – 77
    a) Raízes: 7 e -11
    b) Fatoração: (x – 7)(x + 11)
    c) A raiz -11 não faz sentido como medida física, pois comprimentos não podem ser negativos.

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Conclusão

A fatoração torna-se mais interessante quando vai além do cálculo direto e passa a envolver interpretação, identificação de padrões e análise das raízes. Com exercícios variados, contextualizados e progressivos, o professor oferece aos alunos uma aprendizagem mais sólida e conectada ao raciocínio algébrico. Esta atividade foi construída para apoiar esse processo em sala, permitindo aprofundamento e discussões ricas em torno das expressões quadráticas.

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