A função afim, também chamada de função de 1º grau, é um dos conteúdos mais importantes da matemática escolar. Ela aparece em diversos contextos cotidianos: análises de crescimento e decrescimento, cálculos de lucro e prejuízo, deslocamentos, tarifas, planejamento financeiro, avaliação de tendências e muito mais. Por ser uma função simples e altamente aplicável, compreender suas características, gráficos e fórmulas abre portas para conteúdos mais complexos, como sistemas lineares, equações de 1º grau, função quadrática e até matemática financeira.
Nesta postagem, você encontrará uma explicação completa e aprofundada sobre o tema, com muitos exemplos, análises, observações importantes e aplicações práticas.
O que é Função Afim
A função afim é toda função que pode ser escrita na forma:
f(x) = ax + b
Em que:
- a e b são números reais.
- a é chamado de coeficiente angular.
- b é chamado de coeficiente linear.
Essa função recebe o nome de afim porque representa um comportamento linear, ou seja, um comportamento que cresce ou decresce de forma constante quando o valor de x aumenta. É por isso que seu gráfico é sempre uma reta.
A função afim também é conhecida como função de 1º grau porque o maior expoente da variável x é 1.
Interpretando os coeficientes a e b
Para dominar de verdade a função afim, é preciso entender o papel de cada coeficiente. Eles não estão ali por acaso, e suas funções são muito claras.
Coeficiente angular: o valor de a
O coeficiente angular indica:
- A inclinação da reta no gráfico.
- A taxa de variação da função.
- Se a função é crescente, decrescente ou constante.
Interpretações importantes:
- Se a > 0, a função é crescente. Isso significa que, quando x aumenta, f(x) também aumenta.
- Se a < 0, a função é decrescente. Quando x aumenta, f(x) diminui.
- Se a = 0, não temos mais uma função afim e sim uma função constante. O gráfico é uma reta horizontal.
Exemplo simples:
- f(x) = 3x + 2
O coeficiente angular é 3. Portanto, a cada aumento de 1 unidade em x, o valor da função aumenta 3 unidades. - f(x) = -2x + 5
O coeficiente angular é -2. Isso significa que, a cada 1 unidade adicionada a x, o valor da função diminui 2 unidades.
Coeficiente linear: o valor de b
O coeficiente linear b indica:
- O ponto onde a reta corta o eixo y.
- O valor da função quando x = 0.
Por isso, ao analisar uma função, basta substituir x por zero para encontrar rapidamente b.
Exemplos:
- f(x) = 4x + 7 → b = 7 → a reta corta o eixo y no ponto (0, 7)
- f(x) = -3x – 2 → b = -2 → cruzamento em (0, -2)
Gráfico da Função Afim
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta. Para construí-lo de forma simples, basta encontrar dois pontos. Mas há estratégias mais inteligentes.
Método dos dois pontos
Para determinar o gráfico de f(x) = ax + b:
- Escolha um valor para x.
- Calcule f(x).
- Escolha outro valor para x.
- Calcule novamente.
- Trace a reta que passa pelos dois pontos obtidos.
Exemplo:
Função: f(x) = 2x + 1
Escolha x = 0 → f(0) = 1 → ponto (0, 1)
Escolha x = 2 → f(2) = 5 → ponto (2, 5)
Com esses dois pontos, trace a reta.
Usando interceptos
Uma estratégia rápida:
- Para encontrar o intercepto no eixo y, basta olhar para b.
- Para encontrar o intercepto no eixo x, basta resolver f(x) = 0.
Exemplo:
f(x) = -3x + 6
Interseção em y: (0, 6)
Para interceptar o eixo x:
0 = -3x + 6
3x = 6
x = 2
Intercepto em x: (2, 0)
Com os pontos (0, 6) e (2, 0), já traçamos o gráfico com precisão.
Crescimento e Decrescimento da Função
O comportamento da função depende exclusivamente do coeficiente a.
Função afim crescente
Se a > 0:
- Os valores de f(x) aumentam conforme x aumenta.
- A reta se inclina para cima quando observada da esquerda para a direita.
Exemplo: f(x) = 5x – 3
A função cresce 5 unidades a cada aumento de 1 em x.
Função afim decrescente
Se a < 0:
- f(x) diminui conforme x cresce.
- A reta se inclina para baixo.
Exemplo: f(x) = -4x + 1
A função perde 4 unidades a cada aumento de 1 em x.
Raiz da Função Afim (Zero da Função)
A raiz ou zero da função é o valor de x que faz a função valer 0.
Basta resolver:
ax + b = 0
Exemplo:
f(x) = 2x – 8
2x – 8 = 0
2x = 8
x = 4
Então, a raiz é x = 4.
A raiz também corresponde ao ponto em que a reta cruza o eixo x.
Aplicações da Função Afim na Prática
A função afim está presente em diversas áreas:
Tarifas e contas
Exemplo real:
Uma empresa de internet cobra 50 reais de taxa fixa mais 2 reais por gigabyte excedente.
A função do valor total pode ser escrita como:
C(x) = 2x + 50
Em que x é o número de gigabytes excedentes.
Lucro e prejuízo
Se uma empresa vende um produto por 30 reais mas tem custo de 18 reais por unidade e mais 200 reais fixos, o lucro pode ser:
L(x) = 12x – 200
Mobilidade e deslocamento
Se um carro percorre uma distância com velocidade constante de 80 km/h, a distância percorrida em função do tempo é:
D(t) = 80t
Como Determinar a Função Afim a partir de Dois Pontos
Essa é uma das utilidades mais frequentes da função afim.
Dado dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), a função afim é:
f(x) = ax + b
Primeiro, encontre a:
a = (y2 – y1) / (x2 – x1)
Depois, substitua um dos pontos na equação para encontrar b.
Exemplo:
Pontos (1, 2) e (3, 10):
a = (10 – 2) / (3 – 1)
a = 8 / 2
a = 4
Use o ponto (1, 2):
2 = 4*1 + b
2 = 4 + b
b = -2
Função final:
f(x) = 4x – 2
Função Afim e Equações de 1º Grau
Equações de 1º grau são parte da função afim porque toda equação linear pode ser interpretada como o ponto em que a função assume valor 0.
Por exemplo:
3x – 12 = 0
Corresponde à função f(x) = 3x – 12.
Tabela Comparativa de Funções Afins
A tabela ajuda a visualizar as diferenças entre funções crescentes, decrescentes e constantes:
| Função | a | b | Tipo | Gráfico |
|---|---|---|---|---|
| f(x) = 5x – 2 | 5 | -2 | Crescente | Sobe da esquerda para a direita |
| f(x) = -3x + 4 | -3 | 4 | Decrescente | Desce da esquerda para a direita |
| f(x) = 0x + 7 | 0 | 7 | Constante | Reta horizontal |
Atividades sobre Função Afim
Veja abaixo algumas atividades de disponibilizamos sobre função afim:
Exercícios de Função Afim para 9º Ano com Gabarito
Exercícios Resolvidos de Função Afim
Exercícios de Função de 1º Grau para 9º Ano com Gabarito
Conclusão
A função afim é um dos pilares da matemática fundamental. Por ser uma função simples, direta e aplicável, ela aparece em incontáveis situações reais. Entender como interpretar seus coeficientes, construir seu gráfico, identificar comportamentos crescentes e decrescentes e resolver problemas contextualizados torna o estudo muito mais intuitivo.
Com este conteúdo completo, você tem uma base sólida para avançar em temas como função quadrática, sistemas, análise gráfica, tendências e relações lineares. Para aprofundar o aprendizado, basta inserir suas atividades nos locais indicados e complementar com exercícios práticos.
