As inequações fazem parte do estudo da Álgebra e estão presentes em diversas situações do dia a dia, mesmo quando não percebemos. Sempre que comparamos valores, estabelecemos limites, falamos de “maior que”, “menor que”, “no máximo” ou “pelo menos”, estamos lidando com inequações. Elas ampliam o raciocínio desenvolvido nas equações e ajudam a compreender intervalos de valores possíveis, e não apenas um único resultado.
Neste conteúdo completo, você vai entender o que é uma inequação, quais são seus tipos, como resolvê-las passo a passo, como representar soluções na reta numérica e no plano cartesiano, além de muitos exemplos comentados.
Veja também: Lista de Exercícios de Inequações de 1º Grau
Veja também: Exercícios de Inequação do 2º Grau com Gabarito
O que é uma inequação
Uma inequação é uma sentença matemática que envolve uma desigualdade entre duas expressões algébricas. Diferente da equação, que busca um valor exato que torna a igualdade verdadeira, a inequação procura um conjunto de valores que satisfazem a desigualdade.
Observe alguns exemplos simples:
- x > 3
- y ≤ 10
- 2x + 1 < 7
- a − 5 ≥ 0
Em todos esses casos, o símbolo central não é o sinal de igual, mas um símbolo de desigualdade.
Símbolos usados nas inequações
Antes de avançar, é fundamental compreender o significado de cada símbolo.
- significa maior que
- < significa menor que
- ≥ significa maior ou igual a
- ≤ significa menor ou igual a
Esses símbolos indicam a relação entre as expressões que aparecem dos dois lados da inequação.
Exemplo:
x ≥ 4 indica que x pode ser igual a 4 ou qualquer valor maior que 4.
Diferença entre equação e inequação
Essa comparação ajuda muito a entender o conceito.
- Equação: procura um ou mais valores exatos que tornam a sentença verdadeira.
Exemplo: x + 2 = 5. Solução: x = 3. - Inequação: procura um conjunto de valores que satisfazem a desigualdade.
Exemplo: x + 2 > 5. Solução: x > 3.
Perceba que, na inequação, não existe apenas um resultado, mas vários valores possíveis.
Tipos de inequações
As inequações podem ser classificadas de acordo com sua estrutura algébrica.
Inequações do 1º grau
São aquelas em que a incógnita aparece elevada apenas à primeira potência.
Exemplos:
- x − 4 > 0
- 2x + 3 ≤ 11
- 5 − x ≥ 1
Essas são as inequações mais estudadas nos anos iniciais do Ensino Fundamental II.
Inequações do 2º grau
Nelas, a incógnita aparece elevada ao quadrado.
Exemplos:
- x² − 4 > 0
- x² + 3x − 10 ≤ 0
A resolução exige maior atenção, pois envolve estudo de sinais e intervalos.
Sistemas de inequações
Um sistema de inequações é formado por duas ou mais inequações que devem ser satisfeitas ao mesmo tempo.
Exemplo:
x > 1
x < 5
A solução será o conjunto de valores que atende às duas condições simultaneamente.
Como resolver inequações do 1º grau
Resolver uma inequação do 1º grau é parecido com resolver uma equação, mas com um cuidado especial em relação ao sinal da desigualdade.
Passo a passo geral
- Organizar a inequação, deixando os termos com incógnita de um lado e os números do outro.
- Simplificar a expressão.
- Isolar a incógnita.
- Observar se houve multiplicação ou divisão por número negativo, pois isso altera o sentido da desigualdade.
Atenção ao sinal da desigualdade
Esse é o ponto mais importante.
Quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados da inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade deve ser invertido.
Exemplo:
-2x > 6
Dividindo ambos os lados por -2:
x < -3
Note que o sinal > virou <.
Exemplos resolvidos de inequações do 1º grau
Exemplo 1:
x + 5 > 9
Subtraindo 5 dos dois lados:
x > 4
Solução: todos os valores maiores que 4.
Exemplo 2:
3x − 6 ≤ 12
Somando 6 aos dois lados:
3x ≤ 18
Dividindo por 3:
x ≤ 6
Exemplo 3:
-4x + 8 > 0
Subtraindo 8 dos dois lados:
-4x > -8
Dividindo por -4 e invertendo o sinal:
x < 2
Representação da solução na reta numérica
Depois de resolver uma inequação, é comum representar o conjunto solução na reta numérica.
Círculo aberto e círculo fechado
- Círculo aberto indica que o valor não faz parte da solução.
Usado em > ou <. - Círculo fechado indica que o valor faz parte da solução.
Usado em ≥ ou ≤.
Exemplo:
x > 3
Representação: círculo aberto no 3 e uma seta apontando para a direita.
x ≤ 5
Representação: círculo fechado no 5 e a região à esquerda marcada.
Inequações com duas incógnitas
Quando a inequação envolve duas variáveis, como x e y, sua solução não é um número ou intervalo, mas uma região do plano cartesiano.
Exemplo:
x + y > 4
Essa inequação representa todos os pontos do plano cuja soma das coordenadas é maior que 4.
Como resolver e representar graficamente
- Trocar o sinal da desigualdade por igualdade e traçar a reta correspondente.
- Verificar se a reta será contínua ou tracejada.
- Tracejada para > ou <
- Contínua para ≥ ou ≤
- Escolher um ponto de teste, geralmente (0,0).
- Verificar se o ponto satisfaz a inequação.
- Marcar a região correta.
Exemplo:
y > x + 1
- Reta: y = x + 1 (tracejada)
- Teste com (0,0):
0 > 1 é falso - Logo, a região solução está acima da reta.
Sistemas de inequações no plano cartesiano
Quando temos mais de uma inequação com duas incógnitas, a solução será a interseção das regiões.
Exemplo:
y > x
y < 4
A solução será a região que está acima da reta y = x e abaixo da reta y = 4 ao mesmo tempo.
Esse tipo de problema é muito usado para desenvolver raciocínio lógico e interpretação gráfica.
Inequações do 2º grau
As inequações do 2º grau têm a forma geral:
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≤ 0
Para resolvê-las, seguimos alguns passos importantes.
Passo a passo
- Resolver a equação correspondente:
ax² + bx + c = 0 - Encontrar as raízes.
- Analisar o sinal da expressão em cada intervalo.
- Escolher os intervalos que satisfazem a desigualdade.
Exemplo resolvido
Resolver:
x² − 9 > 0
Passo 1:
x² − 9 = 0
x² = 9
x = -3 ou x = 3
Passo 2:
Analisar os intervalos:
- x < -3
- -3 < x < 3
- x > 3
Testando sinais, concluímos que a expressão é positiva quando:
x < -3 ou x > 3
Solução: dois intervalos distintos.
Problemas contextualizados com inequações
As inequações aparecem em muitos contextos práticos.
Exemplo 1:
Uma pessoa quer comprar um produto que custa 120 reais, mas só pode gastar no máximo 80 reais por mês. Se ela já gastou x reais, temos:
x ≤ 80
Exemplo 2:
Um estacionamento permite apenas veículos com altura menor que 2,2 metros.
h < 2,2
Exemplo 3:
Para ser aprovado, um aluno precisa ter média maior ou igual a 6.
m ≥ 6
Esses exemplos mostram como as inequações ajudam a estabelecer limites e condições.
Erros comuns ao resolver inequações
Alguns erros aparecem com frequência:
- Esquecer de inverter o sinal ao dividir por número negativo.
- Tratar a inequação como se fosse uma equação, buscando apenas um valor.
- Representar incorretamente na reta numérica.
- Não testar corretamente os intervalos em inequações do 2º grau.
Identificar esses erros ajuda a evitar confusões e melhora o domínio do conteúdo.
Importância das inequações no estudo da Matemática
As inequações são fundamentais porque:
- Desenvolvem o pensamento lógico.
- Ajudam a compreender intervalos e conjuntos.
- Servem de base para conteúdos mais avançados, como funções, gráficos e otimização.
- Aparecem com frequência em avaliações e situações do cotidiano.
Elas conectam a Matemática abstrata com decisões reais, limites e comparações.
Conclusão
Compreender inequações é um passo essencial no aprendizado da Matemática. Elas ampliam o raciocínio algébrico, mostram que nem sempre existe apenas uma resposta e ajudam a interpretar situações em que limites e condições são fundamentais. Ao dominar os símbolos, as técnicas de resolução, a representação gráfica e os diferentes tipos de inequações, fica muito mais fácil avançar para conteúdos mais complexos.
Ao longo deste conteúdo, vimos definições, exemplos resolvidos, representações na reta numérica e no plano cartesiano, além de aplicações práticas. Para consolidar esse aprendizado, a prática é indispensável.
