A raiz quadrada é um dos conceitos mais importantes da matemática, pois aparece em diversos contextos — desde o cálculo de áreas e medidas até em problemas de física e estatística. Entender o que é raiz quadrada e como operá-la corretamente ajuda o aluno a desenvolver raciocínio lógico e compreender a estrutura dos números.
Neste artigo, você vai entender o que é uma raiz quadrada, como calcular esse tipo de número e também aprender sobre raiz não exata, multiplicação de raízes, soma de raízes diferentes e raízes com índices distintos.
O que é uma raiz quadrada?
A raiz quadrada de um número é outro número que, quando multiplicado por si mesmo, resulta no número inicial.
Em outras palavras, é o inverso da potência de expoente 2.
Por exemplo:
- A raiz quadrada de 9 é 3, pois 3 × 3 = 9.
- A raiz quadrada de 16 é 4, pois 4 × 4 = 16.
Em notação matemática, escrevemos:
√9 = 3
√16 = 4
O símbolo √ é chamado de radical, e o número dentro dele é o radicando.
O número 2 (que indica a raiz quadrada) é o índice da raiz.
Quando o índice é 2, normalmente não é escrito — entende-se que é uma raiz quadrada.
Raízes em geral
As raízes são operações inversas das potenciações. Assim como existe a raiz quadrada (índice 2), também existem:
- Raiz cúbica (³√) → inversa da potência de expoente 3;
- Raiz quarta (⁴√) → inversa da potência de expoente 4;
- E assim por diante.
Exemplos:
- ³√8 = 2, pois 2 × 2 × 2 = 8
- ⁴√16 = 2, pois 2 × 2 × 2 × 2 = 16
Em geral, podemos dizer que:
Se aⁿ = b, então b é o radicando, n é o índice, e a = ⁿ√b.
Veja também: Atividade de Operações com Raizes
Multiplicação de raízes com índices iguais
Quando temos raízes com o mesmo índice, podemos multiplicar os radicandos e manter o índice.
A regra é:
√a × √b = √(a × b)
Exemplo:
√3 × √12 = √(3 × 12) = √36 = 6
Outro exemplo:
√5 × √20 = √(5 × 20) = √100 = 10
Isso facilita bastante o cálculo e simplificação de expressões com radicais.
Multiplicação de raízes com índices diferentes
Quando os índices são diferentes, precisamos igualá-los antes de multiplicar.
Isso é feito calculando o mínimo múltiplo comum (MMC) dos índices.
Exemplo:
²√5 × ³√5
Os índices são 2 e 3.
O MMC(2, 3) = 6.
Então:
²√5 = ⁶√(5³) = ⁶√125
³√5 = ⁶√(5²) = ⁶√25
Agora que os índices são iguais, podemos multiplicar:
⁶√125 × ⁶√25 = ⁶√(125 × 25) = ⁶√3125
Portanto:
²√5 × ³√5 = ⁶√3125
Esse processo é fundamental para combinar radicais com índices diferentes corretamente.
Soma de raízes diferentes
Para somar raízes, é preciso que elas sejam semelhantes, ou seja, tenham mesmo índice e mesmo radicando.
Caso contrário, não é possível somar diretamente.
Veja o exemplo:
√3 + √3 = 2√3
Mas √3 + √5 não pode ser somado diretamente, pois os radicandos (3 e 5) são diferentes.
Quando as raízes são diferentes, só podemos simplificar se houver fator comum dentro do radical.
Exemplo:
√12 + √3
√12 pode ser simplificado: √12 = √(4 × 3) = 2√3
Logo:
2√3 + √3 = 3√3
Portanto, a soma entre raízes diferentes só é possível quando elas podem ser simplificadas para ter o mesmo radicando.
Raiz quadrada não exata
Uma raiz quadrada exata é aquela que resulta em um número inteiro.
Por exemplo: √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5.
Já uma raiz quadrada não exata é aquela que não resulta em um número inteiro, e sim em um número decimal infinito e não periódico.
Exemplos:
√2 ≈ 1,4142…
√3 ≈ 1,732…
√5 ≈ 2,236…
Esses números são chamados de irracionais, pois não podem ser expressos como fração exata.
Em situações práticas, costuma-se usar valores aproximados ou deixar o resultado indicado como radical.
Exemplo:
A diagonal de um quadrado de lado 5 cm é √(5² + 5²) = √50 = 5√2
Como √2 ≈ 1,414, então a diagonal ≈ 7,07 cm.
Como calcular a raiz quadrada
Existem diferentes maneiras de calcular a raiz quadrada, dependendo do tipo de número. Vamos ver as principais.
Por fatoração
Usamos a decomposição em fatores primos.
Veja o exemplo com 144:
144 | 2
72 | 2
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
Agrupando os fatores de dois em dois (porque é raiz quadrada):
(2 × 2) × (2 × 2) × (3 × 3)
Cada par equivale a um fator fora da raiz:
2 × 2 × 3 = 12
Portanto, √144 = 12
Veja também: Exercícios de Fatoração
Por aproximação
Quando a raiz não é exata, podemos usar aproximação.
Exemplo: √10
Sabemos que √9 = 3 e √16 = 4.
Então, √10 está entre 3 e 4.
Como 10 é mais próximo de 9, podemos aproximar: √10 ≈ 3,16.
Hoje em dia, a calculadora facilita esse processo, mas é importante que o aluno entenda a ideia de estimar entre dois quadrados perfeitos.
Por radicais simplificáveis
Às vezes, o número pode ser decomposto em um produto que contém um quadrado perfeito.
Exemplo:
√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2
Assim, simplificamos sem precisar calcular o valor decimal de √2.
Outro exemplo:
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
Relação entre raiz quadrada e potência
Raiz quadrada e potência são operações inversas.
Enquanto elevar ao quadrado multiplica o número por ele mesmo, extrair a raiz quadrada desfaz essa operação.
a² → potência
√a² → raiz quadrada → volta ao valor original
Exemplo:
(5²) = 25
√25 = 5
Esse entendimento é essencial para simplificações em equações e expressões algébricas.
Raiz de números negativos
No conjunto dos números reais, não existe raiz quadrada de número negativo.
Por exemplo, √(-9) não é possível em ℝ, porque não há número real que multiplicado por si mesmo dê -9.
Entretanto, no conjunto dos números complexos, essa operação existe e é representada com o número imaginário i, onde i² = -1.
Mas esse conteúdo é aprofundado no Ensino Médio.
Raiz quadrada na prática: onde aparece
A raiz quadrada aparece em várias situações do cotidiano e da ciência, como:
- Cálculo da diagonal de um quadrado (Teorema de Pitágoras);
- Fórmulas de área e volume;
- Cálculo de velocidade média quadrática;
- Estatística (na variância e desvio padrão);
- Física (em expressões de energia cinética e movimento uniforme acelerado).
Resumo das principais propriedades das raízes
| Propriedade | Exemplo | Resultado |
|---|---|---|
| √a × √b = √(a × b) | √2 × √8 = √16 | 4 |
| √a ÷ √b = √(a ÷ b) | √18 ÷ √2 = √9 | 3 |
| (√a)² = a | (√5)² | 5 |
| √(a²) = a | √(7²) | 7 |
| √(a × b) = √a × √b | √(3 × 12) = √36 | 6 |
Essas propriedades facilitam operações com radicais e simplificações em expressões matemáticas.
Erros comuns ao trabalhar com raízes
É importante alertar os alunos sobre alguns enganos frequentes:
- Somar radicais diferentes diretamente (√2 + √3 ≠ √5);
- Esquecer de simplificar radicais (√50 deve ser 5√2, não 7,07 em cálculo simbólico);
- Confundir raiz com potência inversa incorretamente (√x ≠ x/2, mas sim x^(1/2));
- Usar aproximações sem entender o conceito — é importante compreender o significado da raiz antes de usar a calculadora.
Dicas para ensinar raiz quadrada
Para professores, é interessante começar com situações concretas, como o cálculo da área de um quadrado:
“Se a área é 25 cm², qual é o comprimento do lado?”
Isso leva naturalmente ao conceito de raiz quadrada: √25 = 5 cm.
Depois, introduzir jogos de estimativa e quadros de quadrados perfeitos, ajudando os alunos a memorizar valores básicos (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100).
Veja também: Atividade de Raiz Quadrada para 6º Ano
Veja também: Atividade de Raiz Quadrada para 7º Ano
Veja também: Atividade de Raiz Quadrada para 8º e 9º Ano
Conclusão
A raiz quadrada é uma ferramenta fundamental na matemática, permitindo compreender relações de medida, proporção e potência.
Dominar esse conteúdo ajuda o aluno a progredir em temas mais complexos, como equações do 2º grau, Teorema de Pitágoras e funções quadráticas.
Ao trabalhar esse tema em sala de aula, o professor deve valorizar a compreensão conceitual, mostrando a raiz como inverso da potência, e não apenas como um cálculo mecânico.
Com exemplos práticos e atividades variadas, os alunos desenvolvem segurança para lidar com números exatos e não exatos.
