As equações de 2º grau estão entre os temas mais importantes e recorrentes da matemática escolar. Elas aparecem nas provas, nos vestibulares, nos concursos e em inúmeros problemas práticos, desde cálculos de áreas até estudos de movimentos e otimizações. Dominar o conceito, reconhecer os diferentes tipos de equações, entender cada método de resolução e saber interpretar seus resultados é essencial para desenvolver o raciocínio lógico e avançar para conteúdos mais complexos da álgebra.
Este conteúdo completo apresenta tudo o que você precisa saber sobre equações quadráticas, com explicações claras, exemplos passo a passo, casos especiais, gráficos, análise de raízes, produto e soma, formas fatoradas e contextualizações do mundo real.
O que é uma equação de 2º grau
Uma equação de 2º grau é toda equação escrita na forma:
ax² + bx + c = 0
em que:
- a é o coeficiente quadrático (não pode ser zero)
- b é o coeficiente linear
- c é o termo constante
- x é a incógnita (o valor desconhecido)
O diferencial da equação quadrática é que a incógnita aparece elevada ao quadrado, o que torna sua resolução diferente da equação do 1º grau.
Exemplo:
2x² – 5x + 3 = 0
Aqui, a = 2, b = -5, c = 3.
Exemplos do cotidiano onde aparecem equações de 2º grau
As equações quadráticas não são apenas um conteúdo escolar abstrato. Elas estão por toda parte:
- no cálculo da trajetória de um objeto lançado para cima
- no estudo da área de terrenos retangulares quando um lado depende do outro
- na determinação do maior lucro possível em funções econômicas
- na análise de velocidade vs. tempo em gráficos de movimento
- no cálculo do número de soluções possíveis em certos problemas de contagem
- em situações que envolvem produto e soma de números desconhecidos
Sempre que a relação entre grandezas envolve um quadrado, surge uma equação de 2º grau.
Forma geral e identificação dos coeficientes
Dada a equação:
ax² + bx + c = 0
Sempre identifique:
- a (coeficiente de x²)
- b (coeficiente de x)
- c (termo constante)
Exemplo:
5x² + 7x – 12 = 0
a = 5
b = 7
c = -12
Identificar corretamente facilita aplicar fórmulas e analisar as raízes.
A importância do discriminante (Δ)
O discriminante é a chave para entender equações de 2º grau. Ele é calculado por:
Δ = b² – 4ac
Esse valor determina quantas soluções reais a equação possui.
- Δ > 0: duas raízes reais e distintas
- Δ = 0: uma raiz real (raiz dupla)
- Δ < 0: não possui raízes reais (as soluções são complexas)
Exemplo:
Para x² – 6x + 5 = 0, temos:
a = 1, b = -6, c = 5
Δ = (-6)² – 4·1·5
Δ = 36 – 20 = 16 (positivo)
Logo, há duas raízes reais.
Fórmula de Bhaskara (fórmula fundamental)
A fórmula para encontrar as raízes é:
x = (-b ± √Δ) / (2a)
A leitura correta é:
x é igual a menos b, mais ou menos a raiz quadrada de Δ, dividido por 2a.
Exemplo completo:
Resolva 3x² – 2x – 1 = 0
a = 3
b = -2
c = -1
Δ = (-2)² – 4·3·(-1)
Δ = 4 + 12
Δ = 16
x = [2 ± √16] / 6
x = [2 ± 4] / 6
Duas soluções:
x1 = (2 + 4) / 6 = 6 / 6 = 1
x2 = (2 – 4) / 6 = -2 / 6 = -1/3
Classificação das equações de 2º grau
Equação completa
Quando a, b e c são diferentes de zero.
Exemplo: 2x² + 5x – 3 = 0
Equação incompleta
Quando falta algum termo.
a) Falta b
ax² + c = 0
Exemplo: 4x² – 16 = 0
Solução: isolar x².
b) Falta c
ax² + bx = 0
Exemplo: x² – 9x = 0
Solução: fatorar x(x – 9) = 0
c) Falta b e c
ax² = 0
Exemplo: 5x² = 0
Solução: apenas x = 0
Métodos de resolução da equação de 2º grau
Resolução pela fórmula de Bhaskara
O método mais famoso e universal.
Resolução por fatoração
Funciona quando é possível transformar a equação em um produto.
Exemplo:
x² – 8x + 12 = 0
12 é um número cujo par de fatores 6 e 2 somam 8.
Então:
x² – 8x + 12 = (x – 6)(x – 2)
Para resolver:
x – 6 = 0 → x = 6
x – 2 = 0 → x = 2
Resolução completando quadrados
É um método ligado à origem histórica das equações.
Exemplo:
x² + 4x – 5 = 0
Leve o termo constante para o outro lado:
x² + 4x = 5
Some 4 no lado esquerdo para formar um quadrado perfeito:
x² + 4x + 4 = 5 + 4
(x + 2)² = 9
x + 2 = ±3
x = 1 ou x = -5
Resolução gráfica
O gráfico de uma equação de 2º grau é uma parábola.
As raízes correspondem aos pontos onde o gráfico toca o eixo x.
- Se o gráfico corta o eixo x em dois pontos → Δ > 0
- Se toca em apenas um ponto → Δ = 0
- Se não toca → Δ < 0
Analisando a parábola: concavidade e posição
A função associada à equação ax² + bx + c = 0 é:
f(x) = ax² + bx + c
Características importantes:
Concavidade
- Se a > 0, a parábola é voltada para cima
- Se a < 0, a parábola é voltada para baixo
Vértice
O vértice é o ponto máximo (se a < 0) ou mínimo (se a > 0).
As coordenadas são:
xv = -b / 2a
yv = -Δ / 4a
Interseção com o eixo y
O valor de f(0) = c.
Relações entre as raízes: soma e produto
É possível encontrar relações sem calcular pela fórmula.
Para ax² + bx + c = 0, com raízes r1 e r2:
Soma: r1 + r2 = -b / a
Produto: r1 · r2 = c / a
Essas relações são muito úteis em problemas de raciocínio lógico e fatoração.
Exemplo:
x² – 7x + 10 = 0
Soma desejada: 7
Produto: 10
Os números 5 e 2 satisfazem → raízes = 5 e 2.
Equação de 2º grau com discriminante negativo
Quando Δ < 0, não existem soluções reais.
Exemplo:
x² + x + 1 = 0
a = 1, b = 1, c = 1
Δ = 1 – 4 = -3 → negativo
Nenhuma solução real.
Problemas envolvendo equações de 2º grau
Aqui estão exemplos de situações do dia a dia.
Problema de área
A área de um terreno retangular é 96 m². O comprimento é 4 m maior que a largura.
Encontre as dimensões.
l · (l + 4) = 96
l² + 4l – 96 = 0
Δ = 16 + 384 = 400
l = 6
Comprimento: 10
Problema de movimento
Um objeto é lançado verticalmente com altura h(t) = -5t² + 20t.
Quando retorna ao solo?
Resolver: -5t² + 20t = 0
t(-5t + 20) = 0
t = 0 ou t = 4 segundos
Problema de lucro
Lucro L(x) = -2x² + 40x – 100
O lucro máximo ocorre no vértice:
xv = -b / 2a
xv = -40 / -4
xv = 10
Casos especiais e observações importantes
- Se c = 0, basta colocar x em evidência
- Se b = 0, isole x²
- Se Δ é quadrado perfeito, as raízes são inteiras
- Se Δ = 0, existe uma raiz única
- Toda equação de 2º grau tem duas soluções no conjunto complexo
Atividades de Equação de Segundo Grau
Separamos abaixo algumas atividades disponíveis gratuitamente sobre Equações do 2º Grau:
Problemas de Equação do 2º Grau
Exercícios de Equação do 2º Grau
Lista de Exercícios de Equação do Segundo Grau
Conclusão
As equações de 2º grau são fundamentais na matemática. Elas aparecem em praticamente todos os estudos posteriores, como funções quadráticas, otimização, física, geometria analítica e estatística. Compreender o papel dos coeficientes, o uso do discriminante, a fórmula de Bhaskara, a análise gráfica e a interpretação das raízes permite não apenas resolver exercícios, mas também interpretar problemas reais com muito mais segurança.
Dominar esse conteúdo abre caminho para avançar com tranquilidade para temas mais complexos da álgebra e fortalecer as habilidades de raciocínio lógico.
