Atividade de Distância entre Pontos e Ponto Médio 8º e 9º Ano

Esta atividade trabalha noções iniciais de geometria analítica a partir da localização de pontos no plano cartesiano, da distância entre pontos e da determinação do ponto médio de segmentos. Para turmas de 8º e 9º ano, o conteúdo ajuda a consolidar a leitura de coordenadas, o raciocínio espacial e a relação entre álgebra e geometria.

No 8º ano, a proposta pode ser usada como aprofundamento do estudo do plano cartesiano e das representações geométricas. No 9º ano, articula-se diretamente à habilidade EF09MA16 da BNCC, que prevê determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, aplicando esse conhecimento em perímetros e áreas de figuras planas.

Atividade Geometria Analítica: distância entre pontos e ponto médio

1. Observe os pontos abaixo e escreva suas coordenadas.

a) O ponto A está 4 unidades à direita do zero e 3 unidades acima do zero.
b) O ponto B está 2 unidades à esquerda do zero e 5 unidades acima do zero.
c) O ponto C está 6 unidades à direita do zero e 1 unidade abaixo do zero.
d) O ponto D está sobre o eixo y, 4 unidades abaixo do zero.

2. Classifique cada ponto de acordo com sua posição no plano cartesiano.

Use as opções: 1º quadrante, 2º quadrante, 3º quadrante, 4º quadrante, eixo x ou eixo y.

a) P(3, 5)
b) Q(-4, 2)
c) R(-2, -6)
d) S(7, -1)
e) T(0, 8)
f) U(-5, 0)

3. Complete as lacunas.

Considere os pontos A(2, 3) e B(8, 3).

a) Os pontos A e B estão alinhados horizontalmente porque possuem a mesma coordenada ____.
b) A distância entre A e B é de ____ unidades.
c) O ponto médio do segmento AB tem coordenadas ____.
d) Esse segmento é paralelo ao eixo ____.

4. Calcule a distância entre os pontos em cada caso.

Lembre-se de observar se o deslocamento é apenas horizontal, apenas vertical ou se forma um triângulo retângulo na malha.

a) A(1, 2) e B(6, 2)
b) C(-3, 4) e D(-3, -2)
c) E(0, 0) e F(3, 4)
d) G(-1, -1) e H(2, 3)

5. Determine o ponto médio de cada segmento.

a) A(2, 4) e B(8, 4)
b) C(1, 1) e D(5, 7)
c) E(-4, 2) e F(2, 2)
d) G(-3, -5) e H(1, 3)

6. Verdadeiro ou falso. Justifique as falsas.

a) O ponto médio de um segmento sempre pertence ao próprio segmento.
b) Dois pontos com a mesma coordenada y estão alinhados verticalmente.
c) A distância entre A(2, 1) e B(2, 6) é 5 unidades.
d) O ponto médio entre C(0, 0) e D(6, 0) é M(3, 0).
e) Se dois pontos têm as mesmas coordenadas, a distância entre eles é zero.

7. Relacione as colunas.

Coluna 1

1. A(0, 0) e B(0, 7)
2. C(2, 2) e D(8, 2)
3. E(-2, -1) e F(4, 7)
4. G(-6, 3) e H(2, 3)

Coluna 2
a) Segmento horizontal com distância 8 unidades.
b) Segmento vertical com distância 7 unidades.
c) Segmento horizontal com distância 6 unidades.
d) Segmento inclinado.

8. Um mapa de um bairro foi representado em um plano cartesiano.

A escola está no ponto E(1, 2), a biblioteca no ponto B(7, 2) e a praça no ponto P(4, 6).

a) Qual é a distância entre a escola e a biblioteca?
b) Qual é o ponto médio entre a escola e a biblioteca?
c) Esse ponto médio poderia representar um local igualmente distante da escola e da biblioteca? Explique.

9. Analise a figura formada pelos pontos A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4) e D(1, 4).

a) Que quadrilátero é formado ao ligar os pontos nessa ordem?
b) Qual é a medida do lado AB?
c) Qual é a medida do lado BC?
d) Qual é o perímetro da figura?
e) Qual é o ponto médio do lado AB?

10. Produção de problema.

Crie um problema envolvendo dois pontos no plano cartesiano em que seja necessário encontrar o ponto médio entre eles. Depois, resolva o problema criado.

11. Interpretação de erro.

Um aluno afirmou que o ponto médio entre A(2, 6) e B(8, 10) é M(10, 16), porque somou as coordenadas dos dois pontos.

a) Qual foi o erro cometido?
b) Qual é o ponto médio correto?
c) Como você explicaria esse procedimento para um colega?

12. Desafio.

Os pontos A(2, 2), B(8, 2) e C(8, 10) formam um triângulo retângulo quando ligados nessa ordem.

a) Qual é a medida do lado AB?
b) Qual é a medida do lado BC?
c) Qual é a distância entre A e C?
d) Qual é o perímetro aproximado do triângulo?

Gabarito

1.
a) A(4, 3).
b) B(-2, 5).
c) C(6, -1).
d) D(0, -4).
Espera-se que o aluno reconheça o primeiro número como deslocamento horizontal e o segundo como deslocamento vertical.

2.
a) P(3, 5): 1º quadrante.
b) Q(-4, 2): 2º quadrante.
c) R(-2, -6): 3º quadrante.
d) S(7, -1): 4º quadrante.
e) T(0, 8): eixo y.
f) U(-5, 0): eixo x.

3.
a) y.
b) 6 unidades.
c) M(5, 3).
d) eixo x.
O aluno deve perceber que a coordenada y permaneceu igual e que o segmento varia apenas na horizontal.

4.
a) 5 unidades.
b) 6 unidades.
c) 5 unidades. Nesse caso, pode-se observar um triângulo retângulo com lados 3 e 4 na malha.
d) 5 unidades. O deslocamento horizontal é 3 e o vertical é 4, formando novamente uma distância de 5 unidades.
Para os itens c e d, é esperado que o aluno use a malha, a decomposição do deslocamento ou o teorema de Pitágoras, conforme o nível da turma.

5.
a) M(5, 4).
b) M(3, 4).
c) M(-1, 2).
d) M(-1, -1).
O ponto médio deve ficar exatamente no meio do segmento, com as coordenadas equilibradas entre os dois extremos.

6.
a) Verdadeiro.
b) Falso. Dois pontos com a mesma coordenada y estão alinhados horizontalmente. Para estarem alinhados verticalmente, precisam ter a mesma coordenada x.
c) Verdadeiro.
d) Verdadeiro.
e) Verdadeiro.

7.

1. b) Segmento vertical com distância 7 unidades.
2. c) Segmento horizontal com distância 6 unidades.
3. d) Segmento inclinado.
4. a) Segmento horizontal com distância 8 unidades.

8.
a) A distância entre E(1, 2) e B(7, 2) é 6 unidades.
b) O ponto médio é M(4, 2).
c) Sim. Como M(4, 2) está exatamente no meio do segmento que liga a escola à biblioteca, ele representa um ponto igualmente distante dos dois locais. A resposta pode admitir variações na explicação, desde que o aluno indique a ideia de mesma distância.

9.
a) Um retângulo.
b) AB mede 4 unidades.
c) BC mede 3 unidades.
d) O perímetro é 14 unidades, pois 4 + 3 + 4 + 3 = 14.
e) O ponto médio de AB é M(3, 1).
Espera-se que o aluno observe os lados paralelos aos eixos e identifique as medidas pela diferença entre as coordenadas.

10.
Resposta pessoal. O problema deve apresentar dois pontos no plano cartesiano e solicitar, direta ou indiretamente, o ponto médio.
Exemplo de resposta: “Em um mapa, a casa de Ana está em A(2, 4) e a casa de Bruno está em B(8, 6). Qual ponto fica exatamente no meio do caminho entre as duas casas?”
Resolução esperada: M(5, 5).
Elementos esperados: dois pontos bem definidos, contexto compreensível, cálculo ou indicação correta do ponto médio e resposta final coerente.

11.
a) O aluno apenas somou as coordenadas dos dois pontos. Para encontrar o ponto médio, é preciso localizar o valor que fica no meio entre as coordenadas x e também no meio entre as coordenadas y.
b) O ponto médio correto é M(5, 8).
c) Resposta pessoal. Espera-se que o aluno explique que, entre 2 e 8, o valor central é 5, e entre 6 e 10, o valor central é 8. A explicação pode ser feita por média, contagem na malha ou comparação de distâncias.

12.
a) AB mede 6 unidades.
b) BC mede 8 unidades.
c) AC mede 10 unidades. O aluno pode chegar a esse resultado usando a malha ou reconhecendo o triângulo retângulo de lados 6, 8 e 10.
d) O perímetro aproximado é 24 unidades, pois 6 + 8 + 10 = 24.

Como aplicar essa atividade

Momento ideal de aplicação: esta atividade funciona melhor depois de uma explicação inicial sobre plano cartesiano e antes de avançar para problemas mais extensos com perímetro e área. Assim, o professor consegue verificar se a turma realmente compreendeu coordenadas, deslocamentos e ponto médio, sem depender apenas de aplicação mecânica.

Dificuldade comum: muitos alunos confundem alinhamento horizontal com vertical ou somam coordenadas achando que encontraram o ponto médio. Quando isso aparecer, vale pedir que desenhem os pontos na malha e contem as unidades até perceberem visualmente o “meio” do segmento.

Variação por perfil de turma: em turmas com dificuldade, reduza os pontos com coordenadas negativas no primeiro momento e use malha quadriculada. Em turmas avançadas, proponha mais situações com segmentos inclinados, perímetros de figuras e justificativas por escrito.

Atividade complementar: depois da correção, peça que os alunos criem um mapa cartesiano da escola, do bairro ou de uma cidade fictícia, indicando pontos importantes e elaborando perguntas sobre distância e ponto médio para outro colega resolver.

Conclusão

A atividade favorece a passagem da leitura simples de coordenadas para uma compreensão mais estruturada do plano cartesiano. Ao trabalhar distância entre pontos e ponto médio em diferentes tipos de questões, o aluno precisa interpretar posições, comparar deslocamentos e justificar procedimentos.

Para o 8º e 9º ano, esse tipo de proposta é especialmente importante porque prepara a turma para usar a geometria analítica em problemas de perímetro, área, localização e representação de figuras. O professor também ganha um material útil para diagnosticar erros de raciocínio antes de avançar para situações mais complexas.

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