Esta atividade trabalha grandezas inversamente proporcionais por meio de situações numéricas e problemas contextualizados, adequados para turmas de 6º e 7º ano do Ensino Fundamental. O foco é levar o aluno a perceber que, em algumas relações, quando uma grandeza aumenta, a outra diminui na mesma proporção.
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Para o 7º ano, a proposta se articula diretamente à habilidade EF07MA17 da BNCC, que prevê resolver e elaborar problemas envolvendo proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas, com uso de sentença algébrica para expressar a relação. Para o 6º ano, a atividade pode ser usada como introdução ao raciocínio proporcional, dialogando com EF06MA14 e EF06MA15, que envolvem igualdade, valores desconhecidos, relações multiplicativas e razão. A BNCC define aprendizagens essenciais para toda a Educação Básica, o que reforça o uso desse tipo de atividade como parte do planejamento de Matemática nos anos finais.
Atividade de Grandezas Inversamente Proporcionais
1. Observe a situação e responda
Uma caixa com 24 lápis será dividida igualmente entre alguns alunos.
Complete a tabela:
| Número de alunos | Lápis para cada aluno |
|---|---|
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| 6 | |
| 8 |
Agora responda: quando o número de alunos aumenta, o que acontece com a quantidade de lápis que cada um recebe?
2. Identifique a relação
Leia as situações e marque I para inversamente proporcional ou N para não inversamente proporcional.
a) Quanto maior o número de torneiras iguais enchendo um tanque, menor o tempo para enchê-lo. (__)
b) Quanto mais páginas um aluno lê, mais páginas ele já terminou do livro. (__)
c) Quanto maior a velocidade média de um carro, menor o tempo para percorrer a mesma distância. (__)
d) Quanto mais pessoas dividem igualmente uma pizza, menor é a parte de cada pessoa. (__)
e) Quanto mais horas uma lâmpada fica acesa, maior é o gasto de energia. (__)
3. Complete as lacunas
Complete as frases com as palavras aumenta ou diminui.
a) Em uma relação inversamente proporcional, quando uma grandeza aumenta, a outra __________________.
b) Se o número de trabalhadores aumenta e o serviço é o mesmo, o tempo para terminar o trabalho __________________.
c) Se menos pessoas dividem igualmente uma mesma quantia, cada pessoa recebe uma parte que __________________.
d) Se a velocidade diminui em uma viagem de mesma distância, o tempo de viagem __________________.
4. Verdadeiro ou falso
Escreva V para verdadeiro e F para falso.
a) Duas grandezas inversamente proporcionais sempre aumentam juntas. (__)
b) Em grandezas inversamente proporcionais, o produto entre os valores correspondentes tende a permanecer o mesmo. (__)
c) Se 4 máquinas fazem um trabalho em 6 horas, 8 máquinas iguais farão o mesmo trabalho em menos tempo. (__)
d) Toda relação em que uma grandeza aumenta e a outra diminui é, obrigatoriamente, inversamente proporcional. (__)
e) Dividir uma mesma quantidade entre mais pessoas é um exemplo comum de proporcionalidade inversa. (__)
5. Relacione as colunas
Relacione cada situação à explicação correta.
Coluna A
- Mais pedreiros trabalhando na mesma obra
- Mais alunos dividindo a mesma quantidade de folhas
- Menor velocidade em um mesmo percurso
- Mais máquinas iguais produzindo a mesma quantidade de peças
Coluna B
(__) Cada aluno recebe menos folhas.
(__) O tempo de produção diminui.
(__) O tempo de viagem aumenta.
(__) O tempo para terminar a obra diminui.
6. Resolva o problema
Quatro funcionários montam um estande em 12 horas. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, em quanto tempo 8 funcionários montariam o mesmo estande?
Resposta: ___________________________________________
Explique como você pensou:
7. Complete a tabela e descubra o padrão
Uma viagem de 120 km será feita com diferentes velocidades médias.
| Velocidade média | Tempo de viagem |
|---|---|
| 30 km/h | |
| 40 km/h | |
| 60 km/h | |
| 120 km/h |
Essa tabela mostra uma relação inversamente proporcional? Explique.
8. Classifique e justifique
Leia as situações e escreva se representam grandezas inversamente proporcionais. Depois, justifique uma delas.
a) Número de pessoas em uma fila e tempo total de espera, se apenas uma pessoa é atendida por vez.
b) Número de pacotes iguais e quantidade total de biscoitos.
c) Número de pintores igualmente eficientes e tempo para pintar a mesma parede.
Justifique uma das respostas:
9. Produção de problema
Crie um problema envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Use uma das ideias abaixo:
trabalhadores e tempo, velocidade e tempo, pessoas e divisão de uma quantidade, máquinas e tempo.
Meu problema:
Resposta do meu problema:
10. Interpretação de erro
Um aluno resolveu assim:
“Se 3 torneiras enchem uma piscina em 10 horas, então 6 torneiras enchem em 20 horas, porque dobrou o número de torneiras e deve dobrar o tempo.”
Esse raciocínio está correto? Explique o erro e escreva a resposta correta.
11. Desafio
Se 5 costureiras fazem um lote de uniformes em 18 dias, quantas costureiras seriam necessárias para fazer o mesmo lote em 10 dias, mantendo o mesmo ritmo?
Resposta: ___________________________________________
Mostre seu raciocínio:
Gabarito
1. Observe a situação e responda
Tabela:
2 alunos: 12 lápis para cada um
3 alunos: 8 lápis para cada um
4 alunos: 6 lápis para cada um
6 alunos: 4 lápis para cada um
8 alunos: 3 lápis para cada um
Resposta esperada: quando o número de alunos aumenta, a quantidade de lápis que cada aluno recebe diminui. O aluno pode explicar com suas palavras, desde que perceba a ideia de divisão de uma mesma quantidade entre mais pessoas.
2. Identifique a relação
a) I
b) N
c) I
d) I
e) N
Na letra b, as duas grandezas aumentam juntas. Na letra e, quanto mais tempo a lâmpada fica acesa, maior tende a ser o consumo, portanto não é uma relação inversamente proporcional.
3. Complete as lacunas
a) diminui
b) diminui
c) aumenta
d) aumenta
4. Verdadeiro ou falso
a) F
b) V
c) V
d) F
e) V
Na letra d, é importante observar que uma grandeza aumentar enquanto outra diminui não basta para garantir proporcionalidade inversa. É preciso que a variação mantenha uma relação proporcional entre os valores.
5. Relacione as colunas
- Cada aluno recebe menos folhas.
- O tempo de produção diminui.
- O tempo de viagem aumenta.
- O tempo para terminar a obra diminui.
6. Resolva o problema
Resposta: 6 horas.
Sugestão de raciocínio: se o número de funcionários dobrou de 4 para 8, o tempo necessário para realizar o mesmo trabalho cai pela metade. Assim, 12 horas divididas por 2 resultam em 6 horas.
7. Complete a tabela e descubra o padrão
30 km/h: 4 horas
40 km/h: 3 horas
60 km/h: 2 horas
120 km/h: 1 hora
Resposta esperada: sim, representa uma relação inversamente proporcional, pois a distância é a mesma. Quando a velocidade aumenta, o tempo diminui de modo proporcional. O aluno pode mencionar que velocidade e tempo variam em sentidos opostos para uma mesma distância.
8. Classifique e justifique
a) Não necessariamente inversamente proporcional. Em uma fila comum com um atendente, mais pessoas costumam aumentar o tempo total de espera.
b) Não é inversamente proporcional. Mais pacotes iguais significam maior quantidade total de biscoitos.
c) Sim, é inversamente proporcional, considerando pintores com o mesmo ritmo e a mesma parede. Mais pintores reduzem o tempo de trabalho.
Justificativa: resposta pessoal, desde que coerente com a classificação feita. Espera-se que o aluno use a relação entre aumento de uma grandeza e diminuição proporcional da outra, ou explique por que isso não ocorre.
9. Produção de problema
Resposta pessoal.
Elementos esperados: o problema deve apresentar duas grandezas relacionadas de forma inversa, como número de trabalhadores e tempo para realizar o mesmo serviço. Também deve ter dados suficientes para ser resolvido e uma resposta compatível com a situação criada.
Exemplo possível: “Se 2 máquinas produzem um lote em 12 horas, quanto tempo 4 máquinas iguais levariam para produzir o mesmo lote?” Resposta: 6 horas.
10. Interpretação de erro
Resposta esperada: o raciocínio está incorreto. Se o número de torneiras dobrou, o tempo não dobra. Como há mais torneiras enchendo a mesma piscina, o tempo diminui pela metade.
Resposta correta: 5 horas.
Elementos esperados na explicação: identificar que a relação é inversamente proporcional, perceber que 6 torneiras é o dobro de 3 torneiras e concluir que 10 horas devem ser divididas por 2.
11. Desafio
Resposta: 9 costureiras.
Raciocínio esperado: 5 costureiras fazem o lote em 18 dias. O total de trabalho pode ser pensado como 5 vezes 18, que resulta em 90 “costureira-dias”. Para terminar em 10 dias, é preciso dividir 90 por 10, obtendo 9 costureiras. A resposta admite variações na explicação, desde que mantenha a ideia de mesma produção com menos tempo e mais trabalhadores.
Como aplicar essa atividade
Momento ideal de aplicação: esta atividade funciona melhor durante ou logo depois da explicação inicial sobre proporcionalidade inversa. Antes da explicação, alguns alunos tendem a resolver por tentativa, o que pode ser útil como diagnóstico, mas o aproveitamento é maior quando eles já compreenderam que o produto entre os valores correspondentes pode permanecer constante.
Dificuldade comum: muitos alunos confundem proporcionalidade inversa com qualquer situação em que uma coisa aumenta e outra diminui. Vale insistir em perguntas como “a situação é a mesma?” e “a variação foi proporcional?”, porque o erro costuma estar no raciocínio da relação, não apenas na conta.
Variação por perfil de turma: em turmas com dificuldade, trabalhe primeiro com tabelas simples e desenhos de divisão, como lápis, pizzas e grupos de alunos. Em turmas avançadas, peça que representem as relações por sentenças simples e criem problemas com dados próprios. Em aulas de recomposição, selecione as questões 1, 2, 4, 6 e 10 para uma sequência mais curta.
Atividade complementar: depois da correção, proponha uma roda de problemas criados pelos próprios alunos. Cada dupla escreve uma situação, troca com outra dupla e depois valida se a relação é realmente inversamente proporcional. Essa etapa ajuda a transformar o procedimento em compreensão.
Conclusão
A atividade favorece a passagem do cálculo mecânico para a análise da relação entre grandezas, ponto essencial para o desenvolvimento matemático no 6º e no 7º ano. Ao alternar tabelas, problemas, justificativas e produção de enunciados, o aluno precisa reconhecer padrões, explicar raciocínios e revisar erros comuns. Esse tipo de prática prepara a turma para estudos posteriores de regra de três, equações e funções, sem antecipar formalizações excessivas.
Veja mais: Atividades de Matemática para 6° Ano
Veja mais: Atividades de Matemática para 7° Ano
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